

Menghitung Nilai $e^x$ Dengan Deret Maclaurin¶

Deret Maclaurin¶

Suatu fungsi $f(x)$ yang memiliki turunan $f'(x),f''(x),f'''(x)$ dan seterusnya yang kontinyu dalam interval $I$ dengan $a,x$ semua anggota $I$ di sekitar $a$ yaitu $|x-a|<R, f(x)$ dapat diekspansi kedalam deret Taylor

Deret Maclaurin adalah bila pada deret Taylor tersebut berpusat pada titik nol. Jadi bisa disimpulkan bahwasanya deret Maclaurin adalah bagian deret Taylor, dengan kata lain, deret Taylor yang berpusat di nol disebut dengan deret Maclaurin.

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah pemetaan sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.

Dapat di Definisikan sebagai berikut

$$ f(x)=f(a)+{(x-a) \over 1!}f'(a)+{(x-a)^2 \over 2!}f''(a)+....+{(x-a)^n \over n!}f^n(a)+...+R_n(x) $$

Definisi Deret Maclaurin¶

Deret Maclaurin adalah perluasan dari deret Taylor dari fungsi sekitar 0

Berikut Dapat mendefinisikan Deret Maclaurin $$ f(x)≈f(0)+f'(0)x+ {f^2(0)x^2 \over 2!}+ {f^3(0)x^3 \over 3!}+....+{f^n(0)x^n \over n!} $$ Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual

Perhitungan Nilai $e^x$¶

Dalam perhitungan mendekati fungsi - fungsi diatas berikut fungsi bahwa turunan dari deret maclaurin ini bisa kita berikan formula bahwa $f(x) = e^x$ $$ e^x≈f(0)+f'(0)x+ {f^2(0)x^2 \over 2!}+ {f^3(0)x^3 \over 3!}+....+{f^n(0)x^n \over n!} $$ Dapat kita ketahui bahwa $f(x) = e^x$ akan selalu melalukan Turunan sampai ke-n atau sampai ke batas error yang terkecil , bisa disebut hampir mendekati yang sebenarnya. Berikut contoh dibawah melakukan turunan sampai turunan ke-4 $$ f(x) = e^x\\ f'(x) = e^x\\ f^2(x) = e^x \\ f^3(x) = e^x \\ f^4(x) = e^x \\ ... \\ ... \\ ... \\ f^n(x) = e^n $$

Deret Maclaurin $e^x$¶

$$ e^x≈f(0)+f'(0)x+ {f^2(0)x^2 \over 2!}+ {f^3(0)x^3 \over 3!}+....+{f^n(0)x^n \over n!} \\ e^x= 1+x+{x^2 \over2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!}+ ... $$ Dimana $e^x$ untuk menghitung hasil dari $e^x$ menggunakan $x = 1$ dengan 4 suku ( 4 Turunan) $$ e^x= 1+1+{1 \over2} + {1 \over 6} + {1 \over 24}+ ...\\ e^x = 2 + 0.7083333333333333 \\ e^x = 2.708333333333333 $$

Approximate Error ($E_a$)¶

Menghitung approximate error (Kesalahan Perkiraan) dimana,

Kesalahan perkiraan didefinisikan sebagai beda antara nilai perkiraan sekarang (ke-n) beda antara nilai perkiraan sekarang (ke-n) dengan nilai perkiraan sebelumnya (ke-(n-1)). Berikut dapat kita rumuskan sebagai

Approximate Error ($E_a$) = Approximate Value $ke(n)$ – Approximate Value ke$ (n – 1)$

Untuk bisa menghtiung nilai perkiraan sekarang dengan nilai perkiraan sebelumnya (n-1) maka dari yang sebelumnya hanya dengan 4 suku , perkiraan yang sekarang menggunakan 5 suku. Jadi menghitung kembali $e^x$ dengan 5 suku, sebagai berikut $$ e^x= 1+x+{x^2 \over2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!}+ {x^5\over 5!}+...\\ e^x= 1+1+{1 \over2} + {1 \over 6} + {1 \over 24}+ {1 \over 120}+ ...\\ e^x = 2 + 0.7166666666666666 \\ e^x = 2.716666666666667 $$ Dapat kita ketahui perkiraan yang sekarang dengan 5 suku, dimana Approximate Value $ke (n) = 2.716666666666667$, dan Approximate Value $ke (n-1) = 2.708333333333333$

Approximate Error ($E_a$) = Approximate Value $ke(n)$ – Approximate Value ke$ (n – 1)$ $$ E_a =2.716666666666667 - 2.708333333333333 \\ E_a = 0.008333333333333748 $$

Nilai $E_a$(Nilai kesalahan perkiraan ) adalah $E_a = 0.008333333333333748$. Dan untuk bisa mengetahui True error (Kesalahan yang sebenarnya) dapat kita definisikan sebagai beda antara nilai eksak dalam penghitungan dan pendekatan menggunakan metode numerik.

Berikut rumus dari True Error

True Error$(E_t)$ = True Value – Approximate Value

dimana, True Value dari $e^x = $ $2.718281828459045$ dan

Approximate Value = $2.716666666666667$

maka : $$ E_t = 2.718281828459045 - 2.716666666666667 \\ E_t = 0.0016151617923783057 $$

Relative Approximate Error($|ϵa|$)¶

Didefinisikan sebagai rasio antara kesalahan perkiraan dan nilai perkiraan ke-n.

Untuk menghitung Kesalahan perkiraan dibagi dengan nilai perkiraan ke -n, yang dapat didefinisikan sebagai berikut : $$ |ϵa| = {Kesalahan Perkiraan \over Nilai PerkiraanKe-n} $$ Bisa juga dengan $$ |ϵa| = {ApproximateValue \quad ke (n) - ApproximateValue \quad ke(n-1) \over ApproximateValue \quad ke (n)} $$ Untuk menghitung Persentasi dari Relative Approximate Error hanya dikalikan dengan 100 % $$ |ϵa| = {ApproximateValue \quad ke (n) - ApproximateValue \quad ke(n-1) \over ApproximateValue \quad ke (n)} X 100 $$

Dengan Approximate Value ke (n) = $2.716666666666667$ dan Approximate Value $ke (n-1) = 2.708333333333333$. Maka : $$ |ϵa| = {(2.716666666666667 - 2.708333333333333) \over 2.716666666666667} X 100 \\ |ϵa| = 0.0030674846625768394 \quad X \quad 100 \\ |ϵa| = 0.3067484662576839 $$ Maka dapat diketahui Persentase Relative Approximate Error nya

$|ϵa| = 0.3067484662576839$%

Implementasi Deret Maclaurin dengan Bahasa Pemrograman Python¶

Pada implentansi deret Maclaurin ini, menggunakan rumus $e^x$ $$ e^x≈f(0)+f'(0)x+ {f^2(0)x^2 \over 2!}+ {f^3(0)x^3 \over 3!}+....+{f^n(0)x^n \over n!} $$

dimana $e^x$ menggunakan $e^{3x}$. Maka Turunannya : $$ f(x) = e^{3x}\\ f'(x) = 3e^{3x}\\ f^2(x) = 9e^{3x} \\ f^3(x) = 27e^{3x} \\ f^4(x) = 81e^{3x} \\ ... \\ ... \\ ... \\ ... $$ Untuk menghitung $e^{3x}$, dimana x =1 dan ambang batasnya (batas error) = $0,001$. Untuk bisa mengetahui batas errornya yaitu dengan Appoximate Error (Perkiraan Kesalahan). Dengan Selisih dari Nilai sekarang pada suku sekarang dikurangi dengan suku sebelumnya / nilai sebelumnya

Berikut Implementasi Code Pythonnya. Agar lebih mudah memahami code membuat variabel kosong terlebih dahulu (dengan memberikan nilai 0)

import math
eror = 0.001
sblm = 0
skr = 0
z = True
suku = 0
turunan = 1
x = 1
def percent(nomer):
    return str(round(nomer*100, 4))+'%'
while z == True:
    sblm=skr
    skr += ((turunan*(x**suku))/math.factorial(suku))
    print("f ke-",suku, '=',turunan, "(e^3x=", skr,') (Ea=', skr-sblm,')(|ϵa|%=',(skr-sblm)/skr,'|',percent((skr-sblm)/skr),')')
    turunan = turunan*3
    suku+=1
    if skr-sblm < eror:
        print("Aproximate Error = ",skr-sblm)
        z = False

Pada Program diatas telah ditetapkan bahwa batas error = $0,001$ untuk bisa memberikan kondisi batas untuk memberhentikan program ketika batas errornya $< 0,001$ Dengan cara men-selisihkan suku yang sekarang dikurangi dengan suku yang sebelumnya dan ketika $< 0,001$ maka telah memenuhi syarat batas dan program akan berhenti.Pada cara men-selisihkan tersebut yang bisa juga disebut sebagai Approximate Error $E_a$

if skr-sblm < eror:
        print("Approximate Error = ",skr-sblm)
        z = False

Untuk menghitung Relative Approximate Error dapat diprogram sebagai berikut dengan fungsi def percent

def percent(nomer):
    return str(round(nomer*100, 4))+'%'

dimana |ϵa|%= (Nilai Suku sekarang - Nilai suku sebelum)/Nilai Suku sekarang X 100%

'(|ϵa|%=',(skr-sblm)/skr,'|',percent((skr-sblm)/skr),')')

Hasil Program ketika dijalankan :

f ke- 0 = 1 (e^3x= 1.0 ) (Ea= 1.0 )(|ϵa|%= 1.0 | 100.0% )
f ke- 1 = 3 (e^3x= 4.0 ) (Ea= 3.0 )(|ϵa|%= 0.75 | 75.0% )
f ke- 2 = 9 (e^3x= 8.5 ) (Ea= 4.5 )(|ϵa|%= 0.5294117647058824 | 52.9412% )
f ke- 3 = 27 (e^3x= 13.0 ) (Ea= 4.5 )(|ϵa|%= 0.34615384615384615 | 34.6154% )
f ke- 4 = 81 (e^3x= 16.375 ) (Ea= 3.375 )(|ϵa|%= 0.20610687022900764 | 20.6107% )
f ke- 5 = 243 (e^3x= 18.4 ) (Ea= 2.0249999999999986 )(|ϵa|%= 0.11005434782608689 | 11.0054% )
f ke- 6 = 729 (e^3x= 19.412499999999998 ) (Ea= 1.0124999999999993 )(|ϵa|%= 0.05215711526078554 | 5.2157% )
f ke- 7 = 2187 (e^3x= 19.846428571428568 ) (Ea= 0.4339285714285701 )(|ϵa|%= 0.02186431527802765 | 2.1864% )
f ke- 8 = 6561 (e^3x= 20.009151785714284 ) (Ea= 0.162723214285716 )(|ϵa|%= 0.008132439397150944 | 0.8132% )
f ke- 9 = 19683 (e^3x= 20.063392857142855 ) (Ea= 0.05424107142857082 )(|ϵa|%= 0.0027034844911218605 | 0.2703% )
f ke- 10 = 59049 (e^3x= 20.079665178571425 ) (Ea= 0.016272321428569825 )(|ϵa|%= 0.0008103880858499218 | 0.081% )
f ke- 11 = 177147 (e^3x= 20.08410308441558 ) (Ea= 0.004437905844156376 )(|ϵa|%= 0.00022096609569784593 | 0.0221% )
f ke- 12 = 531441 (e^3x= 20.08521256087662 ) (Ea= 0.001109476461039094 )(|ϵa|%= 5.523847246706314e-05 | 0.0055% )
f ke- 13 = 1594323 (e^3x= 20.08546859390609 ) (Ea= 0.0002560330294691937 )(|ϵa|%= 1.2747177307422833e-05 | 0.0013% )
Approximate Error =  0.0002560330294691937

Dapat diketahui Approximate Error dari Suku yang sekarang dikurangi dengan suku sebelumnya yang hasilnya harus $< 0,001$. Yang telah diperoleh Approximate Error $= 0.0002560330294691937$ $<0,001$

Dan Approximate Value ($E_a$ )yang diperoleh $= 20.08546859390609$

Setelah memperoleh Approximate Error y= ang $< 0,001$ ,mencari True Error (Nilai Error Yang Sebenarnya). Dengan Cara :

True Error$(E_t)$ = True Value – Approximate Value

Cara memperoleh True Value dengan cara import math lalu math.e**3

>>>import math
>>> math.e**3
20.085536923187664

Lalu menghitung True Errornya: $$ E_t = TrueValue-ApproximateValue \\ E_t = 20.085536923187664 - 20.08546859390609 \\ E_t = 6.832928157507467e-05 $$

Diperoleh Nilai True Errornya $= 6.832928157507467e-05 $. Maka dapat kita ketahui bahwa semakin kecil batas error yang kita gunakan maka akan semakin dekat dengan Nilai True Valuenya (Nilai yang Sebenarnya). Berikut hasil yang mudah dipahami

f ke-	$e^{3x}$	$E_a$Approximate Error	\|ϵa\|%Relative Percentage Error
0	1.0	1.0	100.0%
1	4.0	3.0	75.0%
2	8.5	4.5	52.9412%
3	13.0	4.5	34.6154%
4	16.375	3.375	20.6107%
5	18.4	2.0249999999999986	11.0054%
6	19.412499999999998	1.0124999999999993	5.2157%
7	19.846428571428568	0.4339285714285701	2.1864%
8	20.009151785714284	0.162723214285716	0.8132%
9	20.063392857142855	0.05424107142857082	0.2703%
10	20.079665178571425	0.016272321428569825	0.081%
11	20.08410308441558	0.004437905844156376	0.0221%
12	20.08521256087662	0.001109476461039094	0.0055%
13	20.08546859390609	0.0002560330294691937	0.0013%

Keterangan :

f ke- = Iterasi / Suku / Turunan yang keberapa

$e^{3x}$ = Nilai $e^{3x}$ yang dicari untuk bisa mendekati Nilai $e^{3x}$ yang sebenarnya

$E_a$ = Nilai Approximate Error (Nilai Perkiraan Error)

$|ϵa|%$ = Nilai Relative Persentase Error yang dihasilkan

Semakin Kecil Nilai Relative Persentasi Error yang dihasilkan maka akan semakin mendekati Nilai True (Nilai Yang Sebenarnya)

Sekian TerimaKasih ;